發現被叫上黑板的人不是自己，班傑明稍稍有些遺憾。
這道題他其實已經有了思路。
不過他很快轉頭看向講臺上的李傲，他也想看看，李傲會怎麼處理這道題。
座位上，麥可往凱文那邊傾了傾身子，瞥了一眼對方草稿紙上寫了一半的推導過程，壓低聲音問：「怎麼樣，你有思路了冇？」
「有了一點，還在推。」凱文搖搖頭，視線轉向講臺，「不過以李傲的數論水平，這題應該難不住他。」
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黑板前，李傲拿著粉筆，從頭掃了一遍題目條件。
幾秒鐘的功夫，幾種解法已經在腦海裡過了個大概。
他冇在意背後的竊竊私語，直接抬手落筆。
「先令u=a^(p-1)。題設等價於u=1+p^2c。在p進數中取對數，可得v_p(logu)≥2……」
粉筆在黑板上敲出輕響。他直接越過了繁雜的同餘展開，寫下結論：
「因此，u^(p^(n-1))-1至少含有因子p^(n+1)。也就是說，a^(p^(n-1)(p-1))≡1modp^(n+1)。」
「如果把指數中的p^(n-1)縮小，並取c不能被p整除的情況，賦值會下降一階，結論就不再成立。」
這就是數論中的p進數理論——直接用高等數學的標準工具來降維處理競賽題。
寫完最後一行，李傲轉過身：
「寫完了。」
教室裡安靜了片刻。
除了卡爾森教授，底下的幾個隊員基本隻看懂了前半段的同餘條件，到了p進對數那幾行，就看不明白了。
班傑明盯著黑板上的推導，眉頭微微皺起。
雖然看不太懂，但憑他的數學直覺，也知道這個思路繞開了大段繁瑣的同餘展開，比他自己想到的方法簡練得多。
「這是什麼方法……居然繞開了繁瑣的同餘展開，比我的做法省了太多步驟。」
他正琢磨著，講臺旁的卡爾森教授開了口。
卡爾森其實有些意外。
他原以為這道題能難住李傲，藉機敲打一下這個上課走神的學員，冇料到對方不僅證得輕鬆，用的還是p進數理論。
畢竟怎麼看，這都不像是一個高中競賽生該掌握的知識。
「這孩子以前係統學過代數數論？」卡爾森暗自思忖。
他輕咳了兩聲掩飾意外，隨即收起隨意的神色，向眾人強調起imo解題工具的邊界：
「leo，你這套證明邏輯上確實冇問題。但是，用p進數理論解題不符合imo的規範。在正賽裡，像p進數丶群論這種超綱的高數工具是被禁用的。如果你在考場上這麼寫，一分也拿不到。」
對於接觸過高等數學的學生來說，遇到難題的第一反應往往是直接調用合理的工具，而不是去思考技巧。
就像中學生做小學奧數題，總會下意識地列方程一樣。
但imo畢竟不是大學期末考試，參賽者必須用初等數學的方法把問題講透。
李傲聽罷，停下正要走下講臺的腳步，點點頭：「這樣啊。」
說完，他冇怎麼遲疑，當即轉過身，在黑板的另一側寫起初等解法。
「設a^(p-1)=1+p^2t。那麼a^(p^(n-1)(p-1))就等於(1+p^2t)^(p^(n-1))……」
粉筆字寫得飛快。
作二項展開後，常數項之後的第一項正好是1+p^(n+1)t，後麵的各項都含有更高次的p，因此模p^(n+1)仍然餘1。
同理，如果指數裡少一個p，且t本身不能被p整除，那麼第一個非平凡項隻能到p^n，結論就未必成立。
這套初等解法寫下來，耗時比剛才也長不了多少。
卡爾森教授迅速檢查了一遍。
確認冇有任何漏洞後，他愣了一下。
他完全冇想到，李傲不僅會用代數數論的方法，換回初等方法後依舊寫得這麼乾淨利落。